分形几何为研究具有精细局部结构的对象提供理论和方法。丢番图逼近研究实数被有理数逼近的精度问题，实质就是研究有理数在局部的分布性质。Dirichlet定理和Minkowski定理是关于有理数或有理向量分布性质的最基本理论，分别引出了丢番图逼近中由球确定的上极限集和由矩形确定的上极限集的度量理论（测度与维数）。前一种上极限集的度量理论已经发展非常完善，特别是质量转移原理的发现(Beresnevich & Velani, 2006).在此报告中，我们将介绍关于后一种上极限集的维数理论的最新进展。